이항분포

이항 분포(binomial distribution)의 정의

n : 시도 횟수

p : 성공확률

x : 성공횟수

이항분포는 성공확률이 p인 실험을

n번 독립적(independent)으로 시행 했을때 x번 성공할 확률이다.

nCx는 독립적인 n번 시도에서 순서 상관없이 x번의 성공을 추출한 경우의 수이다.

n번의 독립적인 시행 중에 어디에서 성공을 했는지 모르기 때문에 사용한다.

p^x는 x번 성공한 확률 입니다.

(p-1)은 실폐할 확율 즉  p의 여사건 입니다.

(n-x)는 실폐한 횟수 입니다.h

(p-1)^(n-x)는 실폐한 확률 입니다.

이항분포를 이용하면 다음과 같은 경우의 확률을 구할수 있다.

주사위를 6번 굴려서 짝수가 2번 나올 확률 ->  2 ~ (6 , 1/2)

불량률이 1/10인 노트북을 30개 검사했을 때 5개가 불량일 확률 ->  5 ~ (30 , 1/10)

이항분포의 평균

평균의 정의

f(x)는 이항 분포

이항 정리  nCr = n!/r! (n-r)!
x= 0 인경우 값이 0이라서 x=1 부터

분자의 n!에서 n을 앞으로 뽑아냄

x를 분모의 x!와 곱해줌 x * 1/(x)! = x / x (x-1) (x-2) .... 1 = 1/(x-1) (x-2) ...

p^x에서 p를 나누어주고 곱해줌 p^x  = p/p * p^x = p * p^x-1

Σ안에 있는 n과 p는 앞으로 나올수있다.

 

  Σ안에있는식 (n-1)번 시도중 (x-1)번 성공하는 확률의 총합

 확률의 합은 1

이항분포의 평균 (기댓값)은 시도한 횟수와 성공확률의  곱이다.

이항분포의 분산

여기에서 E(x)는 이미 알고 있으니 E(x^2)를 알아보자

분자의 n!에서 n을 앞으로 뽑아냄

x를 분모의 x!와 곱해줌 x * 1/(x)! = x / x (x-1) (x-2) .... 1 = 1/(x-1) (x-2) ...

p^x에서 p를 나누어주고 곱해줌 p^x  = p/p * p^x = p * p^x-1

 Σ안에 있는 n과 p는 앞으로 나올수있다.

x에 1을 빼고 더해줌

 x = x -1 + 1

  Σ를 (x-1)과 1로 나눔

앞쪽 Σ는 (n-1)번 시행하는 이항분포의 평균 (n-1)*p

앞쪽 Σ는 (n-1)번 시행하는 이항분포의 총합 =1 

이제 다시 이항분포에 분산에 대해서 알아보자

E(x)의 제곱 (np)^2

두개의 항을 공통인자 np로 묶어줌

이항분포의 분산은  평균과 성공할 확률의 여사건의 곱이다.