푸아송 분포

푸아송 분포 정의

m은 단위 시간/공간 동안 발생하는 사건의 평균(기댓값)이다.
X는 사건이 발생할 횟수이다.
e는 자연상수 이다. (sum(1/n!))
X는 이산 확률변수이다. (x = 0, 1,2,3, ....n)

포아송 분포로 단위 동안 사건이 일어 난 평균이 m인 경우
사건이 x번 일어날 확률을 구할 수 있다.
예 )
1시간동안 자동차가 평균 m번 지나갔을때 1시간 동안 자동차가 x번 지나갈 확률

푸아송 분포의 평균 

 평균의 정의

푸아송 분포를 그대로 써줌

 

x= 0일때값이 0임으로 1부터

 x를 분모 x!와 곱합 

x / x! = 1/(x-1)!

분자 m^x = m * m^x-1

 x와 상관없는 분자 e^-m과 m 을 앞으로 꺼냄 

∑안에식에 (e/e)^m을 곱함 

e^-m * e^m = 1

∑안에식에 e^m을 앞으로 빼냄

어떤수의 ^0은 = 1
∑안에식은 X~B(m) 전체확율은 1

푸아송 분포의 평균(기댓값)은 m 이다.

 푸아송분포의 분산

분산의 정의

여기에서 E(x^2)를 모르기 때문에 이것부터 하겠습니다.

정의를 그대로 써줌

x와 1/x! 곱하여 (x-1)! 

m^x = m^x-1* m

m을 Σ앞으로 뽑아 줌니다.

파란색 부분을 주목해 주세요.

(x-1) * 1/(x-1)! = 1/(x-2)!
m^x-1 = m^x-2 *m
그리고 뒷쪽에 Σ는 푸아송 분포의 총합 =1

분자의 m을 앞으로 뽑아냄
그리고 Σ는 푸아송 분포의 총합 =1 

평균의 제곱은 m^2 + m

이제 분산을 구해보자

결론 적으로 푸아송 분포는 m